Derivadas por ilustres professores

andre-dias.net

(Texto convidado, por J.M.S. Martins)

Pois, as segundas derivadas, os automóveis e as acelerações… Se o ilustre professor (da faculdade onde me licenciei quando ele ainda andaria de cueiros ou de calções) Carlos Antunes tivesse estudado um bocadinho a ecologia das viroses respiratórias, enfim, os vários processos da história natural que constituem o que chamamos “contágio”, talvez tivesse percebido que a boa analogia que queria fazer não era com automóveis e aceleradores, mas sim com o percurso de projécteis em queda sob o efeito da aceleração gravítica, como se aprende no ensino pré-universitário. Seria mais fácil de explicar, se ele soubesse o que queria explicar com esse exemplo.

Se o ilustre professor se tivesse dado a esse trabalhito de estudar a história natural do processo que pretende representar formalmente com equações, teria reparado que as segundas derivadas (e as terceiras, e as quartas…) têm um interessa reduzidíssimo, ou mesmo nulo, em epidemiologia e não servem para nada quando se pretende estudar o que chamamos vulgarmente “contágio”. Vejamos porquê. Para isso, teremos que manter a conversa no nível elevado para que o ilustre professor a trouxe, e relembrar o que são as dimensões das grandezas físicas. O que ajudará a perceber algumas esparrelas em que caímos quando fazemos contas de merceeiro apenas sobre os valores numéricos e nos esquecemos de operar sobre as unidades com que esses valores são medidos.

Tal como no exemplo rodoviário (mal escolhido, mas adiante…), em que a deslocação do móvel se mede no tempo através do que chamamos “velocidade”, a progressão das epidemias também se mede no tempo: tantos casos por dia, tantos óbitos por semana, etc. Tal como o Senhor Jourdain da peça de Molière que não sabia que fazia prosa sempre que falava, também nos esquecemos que, ao mencionar 50 óbitos por dia estamos a referir o valor de uma primeira derivada: a primeira derivada do número de óbitos em ordem ao tempo. Até aqui, tudo parece simples apesar de um pouco esotérico, tal como parecia ao Senhor Jourdain ao ouvir o Mestre de Filosofia. Convém frisar que não dizemos “cinquenta”, mas sim “cinquenta óbitos por dia”. Isto é, estamos a referir o valor (“cinquenta”) de uma grandeza com as dimensões “óbito” e “dia”. Tal como a velocidade do automóvel, cujas dimensões são “quilómetro” e “hora”. Na Física a coisa é um pouco mais complexa, mais abstracta, diz-se “distância” e “tempo”, mas representemo-las pelas suas unidades para facilitar a compreensão.

Continuando com o exemplo rodoviário. Quando se aumenta a velocidade, o automóvel percorre mais quilómetros durante uma unidade de tempo; por exemplo, passa de 60 km/h para 65 km/h. Esse aumento pode acontecer apenas uma vez, mantendo-se a velocidade constante nos 65 km/h. Mas, mantendo o pé no acelerador, a velocidade irá continuar a aumentar: durante a primeira hora subiu para 65 km/h, durante a segunda hora subiu dos 65 km/h para 70 km/h, etc. A este aumento da “velocidade” chama-se “aceleração”.  A aceleração, para maior admiração do Senhor Jourdain, é a primeira derivada da velocidade; como a velocidade é a primeira derivada do espaço percorrido em ordem ao tempo, a aceleração é, assim, a segunda derivada do espaço percorrido em ordem ao tempo. “Tem piada, nunca tinha pensado nisso!”, diria o Senhor Jourdain para os seus botões.

Ora, a aceleração também é uma grandeza com dimensões. No exemplo anterior, a velocidade subiu 5 km/h em cada hora. Vou escrever por extenso, para se perceber melhor: cinco quilómetros por hora em cada hora. As dimensões da aceleração, como se vê, são “quilómetro”, “hora” e outra vez “hora”; neste caso, como “hora” aparece nos dois denominadores, trata-se de “hora ao quadrado”.

Apliquemos agora o mesmo raciocínio, mutatis mutandis, à evolução de uma epidemia. Será que o ilustre professor Carlos Antunes nos sabe explicar para que poderá servir, qual poderá ser a utilidade, de um número de óbitos por dia ao quadrado? Como é que tal grandeza poderá relacionar-se com o que chamamos vulgarmente “contágio”?

O ilustre professor não perdia nada se estudasse um bocadinho a história natural das epidemias; o que faz com que elas parem, por exemplo. Ele diz que é fechar escolas e pôr as pessoas saudáveis em prisão domiciliária. Mas, que se passa onde não há escolas, nem domicílios, nem polícias, nem governos, como, por exemplo, entre os coelhos bravos? Como é que param as epidemias de mixomatose, por exemplo? O que é certo é que epidemias de mixomatose, “las hay”, como os espanhóis dizem das bruxas; e que essas epidemias acabam, também é verdade: as epidemias desapareceram (um tempo depois de se iniciarem) mas ainda não desapareceram os coelhos bravos. Nos modelos construídos pelo ilustre professor também se pode estudar uma outra forma de parar as epidemias: matar toda a gente. Se desaparecer toda a gente, as gripes acabam. É uma hipótese estúpida mas passível de ser investigada; como outras hipóteses estúpidas que, contudo, não deixaram de ser investigadas por doutos professores e consideradas com toda a atenção pelos decisores políticos, como sejam os confinamentos com metade da população a trabalhar, os supermercados abertos e os cabeleireiros fechados.

Mas voltemos às derivadas, para aliviar as angústias que eventualmente possam atacar o ilustre professor Carlos Antunes. Que deve ter alguma confusão na cabeça porque o ouvi dizer na televisão, há dias (TVI24, dia 23 de Fevereiro) uma coisa fascinante: consegue fazer modelos sem dados pois, quando lhe perguntaram quando as escolas poderiam reabrir, disse que não tinha dados para poder prever; e que, de qualquer modo, essa abertura devia ser faseada e acompanhada diariamente, para ver se estava a resultar bem ou mal. Ou seja, aquilo que qualquer jogador no totobola faz apenas com papel e lápis: olha para os resultados das últimas jornadas e, com base neles, formula os seus palpites. A melhor confissão de que, apesar dos modelos, no fim de contas o que o ilustre professor faz é dar palpites.

Voltemos, pois, às derivadas. Um palpite para uso do ilustre professor Carlos Antunes. E se, em vez da segunda derivada, explorasse a derivada da taxa de progressão diária, não em ordem ao tempo, mas sim em ordem aos “casos” ou aos óbitos? (André, desculpe-me, não vou neste ponto elevar ainda mais o nível da discussão falando de derivadas parciais). É apenas um palpite. Uma coisa que tenho usado em umas quantas décadas do meu trabalho em epidemiologia e que tenho verificado que é uma boa métrica para exprimir o “contágio”… O ilustre professor talvez descubra, com espanto, que essa outra derivada tem apenas uma dimensão: “tempo”, mais exactamente, “por tempo”. O que abre outros horizontes à análise das epidemias. Mas que não resolve um problema crítico da modelização das viroses respiratórias: a sazonalidade.

Meu caro André: para quê complicar as coisas simples que já são bem conhecidas e estão bem estudadas? Só se for por ignorância… Para quê armar aos cucos com banalidades, quando há aspectos fundamentais, críticos, que ainda não estão investigados, como a compreensão dos factores que determinam o que chamamos “sazonalidade” que, em todo o discurso público que ouvimos de “especialistas”, não passa de uma palavra vazia de sentido?

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